【ACWing】344. 观光之旅

题目地址:

https://www.acwing.com/problem/content/346/

给定一张无向图,求图中一个至少包含 3 3 3个点的环,环上的节点不重复,并且环上的边的长度之和最小。该问题称为无向图的最小环问题。你需要输出最小环的方案,若最小环不唯一,输出任意一个均可。

输入格式:
第一行包含两个整数 N N N M M M,表示无向图有 N N N个点, M M M条边。接下来 M M M行,每行包含三个整数 u u u v v v l l l,表示点 u u u和点 v v v之间有一条边,边长为 l l l

输出格式:
输出占一行,包含最小环的所有节点(按顺序输出),如果不存在则输出No solution.

数据范围:
1 ≤ N ≤ 100 1≤N≤100 1N100
1 ≤ M ≤ 10000 1≤M≤10000 1M10000
1 ≤ l < 500 1≤l<500 1l<500

这道题的主要问题是怎么枚举出所有的环,然后找一个长度最短的环。可以枚举环上面的编号最大的点是多少,正好可以用Floyd算法。以下都设点的编号从 1 1 1开始计数。设图以邻接矩阵存, g [ i ] [ j ] g[i][j] g[i][j]表示从 i i i指向 j j j的边的长度(如果有平行边则取最短的那条)。在Floyd算法的递推式 f [ k ] [ i ] [ j ] = min ⁡ { f [ k − 1 ] [ i ] [ j ] , f [ k − 1 ] [ i ] [ k ] + f [ k − 1 ] [ k ] [ j ] } f[k][i][j]=\min\{f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]\} f[k][i][j]=min{f[k1][i][j],f[k1][i][k]+f[k1][k][j]}中,初始条件 f [ 0 ] [ i ] [ j ] = g [ i ] [ j ] f[0][i][j]=g[i][j] f[0][i][j]=g[i][j],而 f [ k ] [ i ] [ j ] f[k][i][j] f[k][i][j]的含义是如果只走编号 1 ∼ k 1\sim k 1k的点的情况下,从 i i i走到 j j j的最短路。当对所有点对 i , j i,j i,j算完 f [ k − 1 ] [ i ] [ j ] f[k-1][i][j] f[k1][i][j]之后,我们就可以枚举最大编号是 k k k的所有环的最小长度了。我们可以枚举 k k k的前一个点 x x x和后一个点 y y y分别是谁,不妨设 x < y x<y x<y(如果枚举到 x > y x>y x>y的话相当于整个环顺逆时针变了一下,不影响长度),那么这个环的长度就应该是 f [ k − 1 ] [ x ] [ y ] + g [ x ] [ k ] + g [ k ] [ y ] f[k-1][x][y]+g[x][k]+g[k][y] f[k1][x][y]+g[x][k]+g[k][y]。将 k k k 1 1 1枚举到 n n n就得出了最小环的长度了。

接下来的问题是如何把环输出。首先这个环的路径一定是形如 k → x → . . . → y k\to x\to ...\to y kx...y这样的,那么问题就转化为怎么求 x → . . . → y x\to ...\to y x...y的这一段路径。在每次 f [ k ] [ x ] [ y ] f[k][x][y] f[k][x][y]被更小值更新的时候,我们都存一下一个值 p [ x ] [ y ] = k p[x][y]=k p[x][y]=k,这个 k k k就是,如果从 x x x y y y只允许经过 1 ∼ k 1\sim k 1k这些点的话, k k k将是最短路里路径上的编号最大的点。所以要求只经过 1 ∼ k − 1 1\sim k-1 1k1的从 x x x y y y的最短路的话,可以递归地求,我们知道该最短路的最大编号点是 p [ x ] [ y ] p[x][y] p[x][y],那么可以先递归地求 x → p [ x ] [ y ] x\to p[x][y] xp[x][y]的路径,再将 p [ x ] [ y ] p[x][y] p[x][y]加上去,再递归地求 p [ x ] [ y ] → y p[x][y]\to y p[x][y]y的路径。递归出口是 p [ x ] [ y ] = 0 p[x][y]=0 p[x][y]=0的情形,这说明从 x x x y y y的最短路不经过任何其它点。

代码如下:

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int d[N][N], g[N][N];
// pos[i][j]表示从i到j的最短路中经过的编号最大的点是哪个
int pos[N][N];
int path[N], cnt;

void get_path(int i, int j) {
    if (pos[i][j] == 0) return;

    int k = pos[i][j];
    get_path(i, k);
    path[cnt++] = k;
    get_path(k, j);
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    for (int i = 1; i <= n; i++) g[i][i] = 0;

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        // 平行边取最短的
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    int res = INF;
    memcpy(d, g, sizeof d);
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
		// 此时f[k - 1][i][j]都已经求出了,可以计算以k为最大编号点的环的最短长度了
        for (int i = 1; i < k; i++)
            for (int j = i + 1; j < k; j++) 
            	// 这里加起来有可能爆int,要转为long再比较
                if ((long) d[i][j] + g[j][k] + g[k][i] < res) {
                    res = d[i][j] + g[j][k] + g[k][i];
                    cnt = 0;
                    path[cnt++] = k;
                    path[cnt++] = i;
                    // 求一下从i到j的只经过1~k-1的最短路中间的点
                    get_path(i, j);
                    path[cnt++] = j;
                }
            
        // 跑一遍Floyd算法的内层两个循环,求一下f[k][i][j]
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]) {
                    d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
                    pos[i][j] = k;
                }
    }

    if (res == INF) cout << "No solution." << endl;
    else {
        for (int i = 0; i < cnt; i++) cout << path[i] << ' ';
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}

时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3),空间 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

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