今天看了高数两个视频,一个是第五节“极限的运算法则”,另一个是第六节“极限存在及两个重要极限”,看了这两节的视频,使我更好的理解了求极限这一类题的做题方法与技巧,以下就是有关这两节的一些学习笔记:
- 第五节 极限的运算法则
定理1 四则运算(x→x0或x→∞均成立)
若limf(x)=A,limg(x)=B,那么
(1)lim[f(x)+g(x)]=A+B,lim[f(x)-g(x)]=A+B;
(2)lim[f(x)*g(x)]=A*B;
(3)limf(x)/g(x)=A/B(B≠0);
极限的相关计算方法:
Ⅰ.f(x)/g(x)
(1)"0/0型"
①化简:a.零因式:公因式和等价无穷小替换
b.非零因式:代入即可
c.根号相加减:分母有理化
②洛必达法则:
若函数
和
满足下列条件:
a.
,
;
b.在点
的某去心邻域内两者都可导,且
;
(2)"∞/∞型"
①抓大放小(找分子分母中次数最大的,当形式为xⁿ时)
注:x→+∞时 ㏒ₐˣ、xᵇ、cˣ、xˣ(由左到右,接近∞的速度是由慢到快的)
②洛必达法则:
若函数
和
满足下列条件:
a.
,
;
b.在点
的某去心邻域内两者都可导,且
;
c.
(
可为实数,也可为
或
),则
Ⅱ.f(x)±g(x)
(1)"∞-∞型"(转化为"0/0型"或"∞/∞型")
①分式:同分
②公因式:提公因式
③根号相加减:分母有理化
④函数的性质
Ⅲ.f(x)*g(x)
①limf(x) limg(x)
②分类型:<1>0*∞(未定式)
a.等价无穷小替换
b.转换为0/(1/∞)或∞/(1/0)
<2>0*有界量=0
<3>其他:limf(x)、limg(x)分别求极限
- 第六节 极限存在及两个重要极限
Ⅰ.夹逼准则
夹逼准则的作用:
1.判定一个函数(数列)极限是否存在
2.给出一种求极限的方法
Ⅱ.单调有界准则
准则Ⅱ.单调有界数列必有极限
证明方法与步骤:
- 说明数列的单调性:
(1)aₙ₊₁-aₙ<0 数列为单调递减数列
(2)aₙ₊₁ -aₙ>0 数列为单调递增函数
- 判断数列的单调性:
(1)当0<x<π/2时,sinx<x<tanx;
(2)||a|+|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;
(3)数学归纳法:
a.当n=1时,成立
b.假设n=k时,成立
c.当n=k+1时,成立
综上所述,成立
- 求极限:对递归公式两边同时取极限,得出极限值
Ⅲ.两个重要极限