欧几里得算法,扩展欧几里得及裴蜀定理

先说欧几里得算法,当然是用来求两个数的最大公约数的

所利用结论当然是:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)

但是为什么a和b的最大公约数与b和a mod b的最大公约数相同呢?

也就是证明a mod b拥有与a和d相同的最大公约数

先设a和b的最大公约数为r,则a一定可以表示为a = k*b+r,换一种说法就是若a mod b所得为0,那么a就一定是b的倍数。

由于r可以被a和b整除,且r = a-k*b,则等式两边同时除以gcd(a,b) = d得:r/d = a/d-k*b/d,则r也一定可以被d整除,故得证

代码方面:由于求得最大公约数时a mod b一定为0,所以当a mod b==0的时候为程序终点,此时b就是最大公约数(因为刚刚mod b等于0啊)

所以依照此特性可以写出有递归性质的gcd函数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a,b;
int gcd(int x,int y)
{
    if(x % y == 0)return y;  //可以用三目运算符一行搞定,但是这样写更清晰
    return gcd(y,x % y);
}
int main() 
{
    cin >> n;                //表示有n组数据
    while(n--)
    {
        cin >> a >> b;
        cout << gcd(a,b) << endl;
    }
    return 0;
}               

或者直接调用<algorithm>中的__gcd()函数也可直接求出二者的最大公约数

———————————————————————————我是分割线————————————————————————————

扩展欧几里得算法比朴素的欧几里得算法多出一个功能

但是要解释这个功能的话就必须引入裴蜀定理

裴蜀定理:对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的,满足ax + by = m,有解当且仅当m是d的倍数,且若有解,则解必为无穷个。——摘自百度百科

刚好,扩展欧几里得算法新加入的功能就是求出满足a = b,b = a mod b时的一组解,且可以根据这组解求出所有解

设d = gcd(x,y),显然gcd(y,x mod y) = d

又由于存在a,b使得ax + by = d成立,且有a1,b1使得a1y1+b1(x mod y)成立,联立之后可得所求x1 = y,而y1 =  x1-a/b*x

故得到代码

#include <iostream>

using namespace std;

int n;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if (!b)        //1
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    int d = exgcd(b, a % b, y, x);  //2  
    y -= (a / b) * x;
    return d;
}

int main()
{
    cin >> n;
    while (n--) 
    {
        int a, b, x, y;
        cin >> a >> b;
        exgcd(a, b, x, y);
        cout << x << " " << y << " " << endl;
    }
    return 0;
}

在1处递归完毕之后开始执行2之后的部分,此时需要修改的就只有y1,若需要得到最大公约数就返回d,若不需要引用修改x,y即可

在得到x0和y0这一组解之后就可以得到通解公式:x = x0+k*b1,y = y0-k*a1,其中b1 = b/d,a1 = a/d

 

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